上次面字节AI Lab居然挂在这个上面了，来做一下。我在面试的时候没有想清楚动态规划的思路，匆忙开始做题了，导致没有做出来，一定要先把状态定义和状态转移彻底想清楚才开始做。对于这个题，我们定义dp[i]为考虑前i个元素，以第i个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意nums[i]必须被选取！关于这个最后一个元素是否要被选取好像也是有点讲究的。我们从小到大计算dp数组的值，在计算dp[i]之前，我们已经计算出了dp[0…i-1]的值，则状态转移方程为：dp[i] = max(dp[j]) + 1其中0<=j<i且nums[j]<nums[i]即考虑往dp[0…i-1]中最长的上升子序列后面再加一个nums[i]。由于dp[j]代表nums[0…j]中以nums[j]结尾的最长上升子序列，所以如果能从dp[j]这个状态转移过来，那么nums[i]必然要大于nums[j]，才能将nums[i]放在nums[j]后面以形成更长的上升子序列。最后，整个数组的最长上升子序列即所有dp[i]中的最大值。LIS_length = max(dp[i])其中0<=i<n。这样做的话时间复杂度比较高，为O（N^2），空间复杂度是O（N）。
下面讲一下另外一个方法，贪心+二分查找。我们着眼于某个上升子序列的结尾的元素，如果已经得到的上升子序列的结尾的数越小，那么遍历的时候后面接上一个数，会有更大的可能构成一个长度更长的上升子序列。既然结尾越小越好，我们可以记录在长度固定的情况下，结尾最小的那个元素的数值，这样定义后容易找到状态转移方程。我们将新的状态数组命名为tail。1，定义新状态：tail[i]表示长度为i+1的所有上升子序列的结尾的最小值。tail[0]表示长度为1的所有上升子序列中，结尾最小的元素的数值。以题目中的示例为例[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]中，容易发现长度为2的所有上升子序列中，结尾最小的是子序列[2, 3]，因此tail[1]=3。注意下标和长度有数值为1的偏差。2. 状态转移方程，数组tail是一个严格上升数组，证明用反证法，从略。只需要维护状态数组tail的定义，它的长度就是上升子序列的长度。以下为维护的方法：1. 在遍历数组nums的过程中，看到一个新数num，如果这个数严格大于有序数组tail的最后一个元素，就把num放在有序数组tail的后面，否则进入2。2. 在有序数组tail中查找第一个等于大于num的那个数，试图让它变小，如果有序数组数组中存在等于num的元素，什么都不做，因为以num结尾的最短的上升子序列已经存在；如果有序数组tail中存在大于num的元素，找到第一个，让它变小，这样我们就找到了一个结尾更小的相同长度的上升子序列。
python:
class Solution:
def lengthOfLIS1(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
dp = [1]*size
for i in range(1, size):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
def lengthOfLIS2(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
if size < 2:
return size
tail = [nums[0]]
for i in range(1, size):
if nums[i] > tail[-1]:
tail.append(nums[i])
continue
left = 0
right = len(tail) - 1
while left < right:
mid = (left + right) // 2
if tail[mid] < nums[i]:
left = mid + 1
else:
right = mid
tail[left] = nums[i]
return len(tail)